三、虚数i与-i及老子的“道”

数学与哲学同宗同源。在西方，从苏格拉底、柏拉图开始，就极其重视数学的研究。苏格拉底认为，“算学这个学问看来有资格被用法律规定下来；我们应当劝说那些将来要在城邦里身居要津的人学习算术，而且要他们不是马马虎虎地学，是深入下去学，直到用自己的纯粹理性看到了数的本质……便于将灵魂从变化世界转向真理和实在”(柏拉图，1986)。公元前387年，柏拉图在朋友的资助下在雅典城外西北角的阿卡德摩(Academus，以后西方各国的主要学术研究院都沿袭它的名称叫Academy)建立学院，柏拉图学院明确要求：不懂几何学者，不得入内。毕达哥拉斯一生信奉的哲学信条是：万物皆比例。可见，在西方的哲学研究中有着重视数和数学的悠久传统。中国的“易学”有义理派和象数派，义理派主要阐释《周易》的文义与道理，阐发卦爻象数所象征的物象、事理；象数派侧重对《周易》的卦象、卦变的研究，创制出卦变、互体、八宫、纳甲、爻辰、卦气、飞伏、世应、旁通诸说。象数派在先秦时已有表现，两汉达到其鼎盛时期。象数学代表人物有汉代的孟喜、焦延寿、京房、郑玄和三国时期的虞翻。他们特别追求象数，所有经传词语都要从《周易》中找出象数的根源。中西哲学上谈论的“数”，应当认为都是柏拉图所说的“纯数”，是数的本质，“不属于可见物体或可触物体的数”，是为了“脱离可变世界”，成为“真正的计算者”(柏拉图，1986)。如果说，西方哲学经由苏格拉底、柏拉图、库萨的尼古拉、斯宾诺莎、康德、黑格尔等哲学大家，把对宇宙物质世界的思考和认识推到了“一”，传统中国哲学如《易经》的“无极”、老子的“道”以及印度佛学则可以认为把对宇宙物质世界的思考推到了“零”。而根据群论及哲学通式：多等于多，多即是一，一即是零，我们还可以把对这个世界的认识推进到i和-i。而且，如若可以把=i, 或看成是一阴一阳，则不仅可以从更深层次上认识和理解《易经》中所论及的阴阳及老子的“道”，可能还有着根本性、基础性的形上学本体论和认识论意义。

(一)群论的哲学内涵：多等于多，多即是一，一即是零

群论是由法国传奇式人物伽罗瓦(Galois,1811—1832)发明的。他用该理论，具体来说是“伽罗瓦群”，解决了五次方程问题。在此之前柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789—1857)、阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802—1829)等人也对群论作出了重要贡献。群在抽象代数中具有重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等都可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的定义如下：

设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：

Ⅰ．结合律成立，即对G中任意元素a, b, c都有(a*b)*c=a*(b*c)。

Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有e*a=a，叫作G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有a*e=a，叫作G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫作G的单位元。

Ⅲ．对G中每个元素a在G中都有元素a-1，叫作a的左逆元，使a-1*a=e。

符合上述三个条件，则称G对代数运算*做成一个群。

同时，一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四条规律的集合G：

(1)封闭律

若a, b∈G，则存在唯一确定的c∈G，使得a*b=c；

(2)结合律

任意a, b, c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)；

(3)幺元律

存在e∈G，对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元或恒等元；

(4)逆元律

任意a∈G，存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e(单位元)，则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a-1=b.

通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.

若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

基于上述，可以看出，群论的哲学基础正是我们导出的哲学通式：“多等于多，多即一，一即是零”。首先，因为一切都在一切之中，一切“一”也都在一切“一”之中，所以可以推导出：多等于多。因为每一事物都在每一事物之中，一切都在一切之中，所以才有一切即一，一即一切，多即是一。多等于多，多即是一，既是关于局部反映整体，每一部分中都包含着其他部分，同时每一部分又被包含在其他部分中的全息律的哲学基础，也是群论中封闭律和结合律得以成立的基础条件和本质原因。因为一切都在一切之中，所以可以对一切“一”进行任意的“组合”，这种组合必然地仍在“一”之中，因而这种操作必然就具有“封闭性”，符合群论的“封闭律”；同时，正是因为对一切的“一”的这种任意的操作仍在“一”之中，所以，这种意义上的“任意”的“一”的组合就可以无关次序，进而也符合“结合律”。其次，“多即是一”为群论中提出“单位元”的存在提供了思考路径和哲学基础。因为“一”、相等和联系，三者同等的永恒，它们是同一，正如毕达哥拉所说，是一个“三一体”(库萨的尼古拉，1988)，亦即“一”就是“相等”，就是“联系”。而且，由于在哲学上，没有一物不相异，与没有一物不同一是等价的，所以，任何一个自在自为的体系，总是可以找到“相等”、“联系”和“一”这样的“三一体”结构，即群论上所说的“单位元”或“恒等元”。复次，根据库萨的尼古拉的阐述，由于联系按本性先于差异，相等按本性先于不相等(库萨的尼古拉，1988)，如果我们以世界的存在为逻辑起点，那么，那个最原初的“相等”和“联系”，不但为一，而且必须为零，不然，何以有相等？因而才有“一即是零”，这就又为群论提出“逆元律”提供了哲学基础。需要特别指出的是，这里所谈论的“数”首先是哲学意义上的“纯数”，特别是我们所说的“零”或“‘零’存在”更是“纯数”意义上的。“‘零’存在”本质上所体现的正是一切“存在”必然地具有“变中有不变”的共性，并出现物理学上所说的各种事物的对称性以及对称性的泛化现象的根源。因此，可以这样来概括群论的哲学思想：一是“同一哲学”所揭示的世界的统一性、一体性，亦即多等于多，多即是一；二是对称性，在很多数学家看来，“对称即群”。德国著名数学家魏尔(H.Weyl)曾经给出“对称”的定义：“如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说这体系对于这一操作是‘对称的’，而这个操作叫作这体系的一个‘对称操作’。”(顾沛，2011)从群论所体现的哲学意义来看，正是由于“同”是因为“不同”，“不同”是因为“同”，同一律与相异律是等价的，才使得自然界的“变中有不变”的对称性普遍地存在着，并可以展开各种“对称操作”，而且可以运用群论这一数学工具，来研究自然界的这种“对称”。由此看来，在“变中有不变”的“对称性”的本质意义上，普罗提诺所说的“一就是一切，但绝对不是(一切中的)一”的论断(哈贝马斯，2012)，只不过是因为不了解“对称性的泛化”现象的自然和必然的存在，并不能因此而否定“多等于多，多即一，一即是零”以及“一即一切，一切即一”。

如果毕达哥拉斯的万物皆数能够成立，那么，根据我们导出的哲学通式以及群论可以得出，实数加法作用的恒等元为0，非零实数的乘法作用的恒等元为1；同时，因为自然物质世界一切自在自为的体系，在量上不是增加便是减少，并且总是“彻底地相互作用”在一起，因而，对于任何一个自然体系总是可以同时进行加法和乘法运算，于是便可导出这样一个方程式：

根据群论，设与互为可逆元，其中，n∈N，且其加法作用的恒等元为0，乘法作用的恒等元为1。可列出如下二元一次方程：

其中，, ≠0; n∈N。

进而，可解得：, 或, ；进而，还可作如下推论：

推论1：所有自在自为的可逆元之和为0，可逆元之积为1。

推论2：同一时空的所有可逆元的加和值为i或-i。

推论3：凡加法作用为0的可逆元，乘法作用的值必为1；反之亦然。

推论4：纯然存在及其加和的势值恒等于1。

根据上述演算结果及所得到的四个推论，可以得出，由于群论所展现的数理，本质上正是前述基于中西哲学史上对“一”的探索所得出的“多等于多，多即一，一即是零”这一命题的数学意义；如若该命题成立，则萨特的存在与虚无以及老子的一阴一阳或者应当表示为i和-i，且其意义之深远是可以预期的。在数学上，根据笛卡尔对虚数的定义，i2=-1，亦即：1 =(+i) ×(-i)。那么，虚数i与-i的导出，亦即, 或,有着什么样的形上学本体论和认识论意义呢？如若自然界正如今天的物理学家所言，对称性原理遍及整个自然(阿·热，1996)，那么，运用群论，根据这里所导出的与之间的对称性，必然具有根本性、基础性的哲学内涵。

首先，可以认为，古典的“同一哲学”仅仅把对这个世界的认识推进到对“一”，显然是不够的。因为“一”或许原本就应当由i与-i经过相应的“对称操作”组合构建而成。如果可以认为传统中国哲学如《易经》的“无极”、老子的“道”以及印度佛学，把对宇宙物质世界的思考推到了“零”，那么，本质上也存在着固有的缺失。如若毕达哥拉的斯的万物皆数能够成立，因为自然物质世界自在自为的体系，在量上不是增加便是减少，并且总是“彻底地相互作用”在一起；那么，就可以进而认为，这个“零”就只不过是虚数i与-i经过“加法作用”以及对称操作或对称性泛化作用的结果；而“同一哲学”中所论及的“一”，则可以看成是实数乘法作用的产物。

其次，从本体论的角度来看，, 或,的导出，可以发现，即便把“零”看成是世界的本体，也有错置原因与结果的嫌疑；而把“一”看成是一切存在者的起源、基础和总体所构成的那种视角，其唯一的贡献可能就是可以把“多”刻画为不同的存在者和割裂的差异者。亦即是说，当“同一哲学”把“一”看成是本体和实体时，也为后现代主义把“多”看成是“解构”的“法宝”，并对“同一哲学”所建构的基础主义、整体主义、本质主义展开全面“围剿”埋下了“祸根”。“同一”哲学所促成的绝对否定性本体论中的“一”，因为拒绝一切论证活动，也曾被冯友兰称之为西方哲学的“负的方法”。哲学史上，如柏拉图的“理念”、巴门尼德的“存在之存在”、斯宾诺莎的“观念的观念”、库萨的尼古拉的否定神学，就拒绝一切论证，本质上也都是“负的方法”的产物。现在看来，根据群论以及虚数i与-i的导出，这些绝对否性的本体，可能都仅仅是看到了本体“一”的一体两面中的某种特质、某一面向。

复次，, 或, 的导出，显见也成了经验的限界；同时也意味着，经验世界总是可以进行抽丝剥茧般的追溯，以及通过如康德和黑格尔那样的批判和反思，而其结果却既非传统哲学意义上的“一”，亦非“多”，既非“存在”亦非“虚无”，既非“此在”亦非“彼在”，而仅仅是i或-i或具有i 或-i性状的“某物”。由此而论，迄今中西哲学史上所谈论的“一”“多”和“零”，可能都只不过是维特根斯坦意义上的作为“事实的总体”而非“事物的总体”的“世界”(维特根斯坦，1996)，经过加法和乘法两种不同的作用所导致的不同结果，而绝非原因。总之，中西哲学史上，无论是本体论抑或许是绝对否定性本体论，实在论抑或是观念论意义上找到的“一”或者是“零”乃至于“多”，都是由虚数i与-i构造的，因而，实质上都不是本体论意义上真正的“本体”；中西哲学可能都找错了论域和对象。同时，如果我们能够把虚数i与-i看成是《易经》里所说的一阴一阳，或许还可以给我们以更多的启示。

(二)虚数i与-i及《易经》“一阴一阳之谓道”新解

《易经·系辞上》:“一阴一阳之谓道，继之者善也，成之者性也。”《道德经·四十二章》:“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”可见，老子《道德经》以及《易经》中，“道”不是“一”但是可生“一”。由于1=(+i)×(-i)，是否可以认为，“易经”中一阴一阳都应当表示为i和-i？老子的不可言说的“道”，是不是也是由i和-i组合构造而成呢？是否还可以这样认为，因为i和-i的乘法作用为“一”，所以才有“道生一”? “道”原本应当由i和-i经过“对称操作”而构成？同时，由于i和-i的加法作用为“零”，所以，可以认为“‘零’存在”的本质就是“道”，或者说，“道”的本质就是一种“‘零’存在”？或许，正是因为“道”是一种“零”存在，所以，老子在《道德经·一章》开宗明义地强调：“道可道，非常道；名可名，非常名”。而且，“有”与“无”，分别是“万物之母”和“天地之始”，且是“玄之又玄”的“众妙之门”。老子所说的“无”可能正是由i和-i经过加法作用的结果，即“零”；而“有”可能正是i和-i乘法作用的结果，即“一”。所以，有与无，“同出而异名”，且因为i和-i的存在，而变得“玄之又玄”。尔后，经过i和-i对称操作及对称性的泛化作用，便可以“一生二，二生三，三生万物”。再从维特根斯坦所说的“事实的总体的”来看，i和-i的对称性存在，既是“万物负阴而抱阳，冲气以为和”的原因，也为之奠定了基础。因此，可以认为，我们所导出的虚数i与-i本质上可以为《易经》中所论及的“一阴一阳”以及老子的“道”作出新的且具有严密数理逻辑意义的解读。也就是说，老子的“道”应当也是一种对称性的“存在”，《易经·系辞上》所说的“一阴一阳之谓道”，本身就认为“道”是由一阴一阳对称性地型构的。

还需要引起重视的是，中西哲学史(包括宗教史)上的“一”，并不意味着“一切都化约为‘一’，而是意味着，‘多’可以追溯到‘一’，并且因此可以被理解为一个整体和总体”(哈贝马斯，2012)。现在看来，如果“一”是i和-i彻底相互作用的结果，那么，实在论与观念论所论及的这个“一”，无论是作为“实在”还是“观念”就都显得虚妄不实。如若在“‘零’存在”的前提下，通过i和-i对称性相互作用以及对称性的泛化，完全可以“生产”出“多”，那么，巴门尼德用非存在对抗存在，阿多尔诺用“否定”对抗“一”，同样也是存在诸多偏误。因为，如若无论是本体论抑或是绝对否定性本体论，实在论抑或是观念论意义上找到的“一”或者是“零”乃至于“多”，都是由虚数i与-i构造的，那么，存在与非存在，“否定”“多”与“一”，就均可以表示为i和-i或者是二者“冲气以为和”的结果，亦即是“对称操作”及对称性泛化的结果，而非纯粹“对抗”的结果。进而，还可以看出，“同一哲学”、现代哲学所陷入的“二元论”和“新二元论”困境，也是由于其对于对称性相互作用以及对称性的泛化现象缺乏认知。形而上学处理的问题，是源于“被剥夺了特权的多元性对带有强制性和虚幻性的同一性的反抗”(哈贝马斯，2012)。人们从多个角度反复提出了同一个问题：“一”和“多”、“无限”和“有限”相互之间究竟是怎样一种关系？萨特认为，近代思想试图用现象的“一元论”来取代“二元论”的尝试并未成功，所导致的只不过是一种新的“二元”对立，即“有限”与“无限”，或者不如说“有限中的无限”，取代了存在和显现的二元论而已(萨特，1987)。在维特根斯坦看来，“如果我们不把永恒性理解为时间的无限延续，而是理解为无时间性，那么此刻活着的人，也就永恒地活着”(维特根斯坦，1996)，这样，有限、无限及其相互间的“对立”便自行瓦解。真正讲来，有限和无限的对立统一问题才是哲学的根本问题，正是在有限与无限的对立统一之中，才派生出了“一”与“多”的关系问题。而且，正如康德关于人的自由和行为的必然性相一致的“自由和必然共存说”那样，有限与无限的“同时共在”性，当是一切如斯宾诺莎所说的“真观念”的立论依据和基本属性，大凡经不起有限和无限“同时共在”性或亦可谓之“有限和无限共存说”推敲的理论和学说，绝非是我们这个作为如维特根斯坦所说的“事实的总体”的世界或海德格尔“此在”的真理。基于, 或,的导出，可以看到，康德倒反而是具有先见和洞见的。康德否定作为纯粹直观、作为“一切外的内的经验之必然条件”的时间空间的客观实在性。如若将客观实在性归之于非经验的作为表象方式的时间和空间，则将“无术制止一切事物因而转为幻相”(康德，1960)。这里，康德似乎想要说明，作为纯粹表象方式的时间和空间，既非“存在”亦非“非存在”。基于虚数i和-i的导出，反观康德的这一观念，可以看出其的确是富有非凡的洞察力。萨特把否定看成是虚无的概念性统一，且通过纯粹逻辑思辨的形式，推导出“虚无”、非存在的存在，也是很值得赞赏的。但是，在我们看来，从“同一哲学”到现代和后现代哲学，整个西方哲学思想从笛卡尔的“我思故我在”到康德的“在我以外其他事物存在之直接的意识”及萨特“非反思意识”来破除笛卡尔的“我思”，从阿多尔诺指出康德的先验主体极有可能依赖于“物质”，即“统觉的相反一极”，到维特根斯坦把整个现代的世界观都指责为“建立在一种幻觉的基础上”，认为“世界是独立于我的意志的”(维特根斯坦，1996)，对于不可说的东西必须保持沉默。在这样的四度提升和自我批判中，哲学之所以被认为是走向了“终结”，正是因为对虚数i与-i及《易经》“一阴一阳之谓道”缺乏认知，虽则能够将事物归结到“一”与“多”、存在与非存在、存在与虚无的同时性存在，也充分体现了哲学先辈们深邃的洞察力和卓绝的思考力。根据群论，i和-i这样一种特殊的对称性，其加法作用为零，而乘法作用为“一”。因为整个自然不是增加就是减少，或者就是彻底相互作用在一起，因此，可以认为，自然界的“加法作用”和“乘法作用”必然是“同时性”地存在着的。于是，自然之道就可以认为既是“一”也是“零”，且“一即是零”。这不仅意味着，我们可以对《易经》所强调的“一阴一阳之谓道”作出全新的解读；而且可以认为，无论是同一哲学所阐述的“彼在”的“一”，还是现代哲学所强调的“此在”的“一”，无论是巴门尼德、亚里士多德以降的“存在之存在”论，还是海德格尔、雅斯贝尔斯的“此在”、萨特的“存在与虚无”，乃至于后现代哲学的“多”，都只不过是i与-i，即一阴一阳经过对称操作或对称性泛化作用的结果，几乎可以看成同一问题一体两面或多面。基于, 或, 的导出，不仅可以找到我们的经验限界，进而逻辑地解构中西哲学上所谈论的“一”和“零”，而且可以进一步认为，存在与非存在、联系与差别、“否定”“多”与“一”本质上是等价的，具有同等价值。同时，如果毕达哥拉斯的万物皆数成立，那么，经过黑格尔的阐述，既然数的无穷进展可以达致有质的量，亦即万数皆物与万物皆数是等价的，那么，虚数i与-i自然也是“物”，世界的本体应当就是虚数i与-i的对称性“存在”和“实在”，而绝非是霍克海默、阿多尔诺所危言的“神秘的恐惧”或者是“令人毛骨悚然的事物”。传统哲学也不是赖欣巴哈批评的那样是“空洞的空话和危险的独断论”以及是将一些不可并存的成分混合在一起的“古怪杂物”(赖欣巴哈，1983)。当然，这种意义上的“实在”既非中西哲史上所论及的存在或非存在、绝对本体或绝对否定性本体，等等，而是一种超越。这种超越既可以说明既往的哲学研究存在固有的缺失和局限，也可以进一步认定，在哲学研究中，对0、1、i和-i及其相互间的关系研究，将具有基础性、根本性意义。而且，i和-i的导出或者还可以为中西哲学的研究开辟一个新境域。当然，这里所论及的0、1、i和-i，已经远非通常数学意义上的数，而是一种如柏拉图所说的“纯数”。唯有如此，才能真正挖掘出基于, 或, 的哲学内涵。显而易见，我们这里的研究仅仅是一个开端。

综上所述，虚数i与-i的导出，对于中国传统哲学而言，诸如“无极”和“道”等“绝对否定性”概念，已经变得可以言说，即不但可以说它不是什么，也可以说它是什么，进而成了绝对的肯定性。对于西方哲学而言，从“同一哲学”到现代主义、后现代主义哲学，基本可以表述为老子所说的“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和”(《道德经·四十二章》)。老子的“道生一”，可以用简单的数学式表达为：1=(+i)×(-i)。这同时意味着，“同一哲学”、现代哲学所论及的存在与非存在、“一”与“多”、此在的“一”和“彼在”的“一”，似乎都有着相同的性质，其间并不存在“对抗”性关系，只不过是“万物负阴而抱阳”，并且进而“冲气以为和”的结果，所以才进而有了“二生三”；而后现代主义的复数性、多元化只不过是在i与-i的对称性相互作用及对称性泛化的结果，所展示的正是老子“三生万物”的一幅世界图像。