2.3　矩阵乘法：最重要的线性代数运算规则

矩阵乘法是最重要线性代数运算，没有之一——这句话并不夸张。

矩阵乘法规则可以视作算术“九九乘法表”的进阶版。

矩阵乘法规则

A和B两个矩阵相乘的前提是矩阵A的列数和矩阵B的行数相同。A和B的乘积一般写作AB。

A和B两个矩阵相乘AB读作“matrix boldface capital A times matrix boldface capital B”或“the matrix product boldf ace capital A and boldface capital B”。

NumPy中，两个矩阵相乘的运算符为@，鸢尾花书一部分矩阵乘法也会采用@。比如，AB也记做A@B：

注意：A在左边，B在右边，不能随意改变顺序。也就是说，矩阵乘法一般情况下不满足交换律，即AB≠BA。

如图2.7所示，矩阵A的形状为m行、p列，矩阵B的形状为p行、n列。A和B相乘得到矩阵C，C的形状为m行、n列，相当于消去了p。

图2.7　矩阵乘法规则

再次强调，矩阵乘法不满足交换律。也就是说，一般情况下下式不成立，即

首先，B的列数和A的行数很可能不匹配。即便m=n，也就是B的列数等于A的行数，BA结果也很可能不等于AB。

两个2×2矩阵相乘

下面，用两个2×2矩阵相乘讲解矩阵乘法运算规则。

设矩阵A和B相乘结果为矩阵C，有

图2.8所示为两个2×2矩阵相乘如何得到矩阵C的每一个元素。

矩阵A的第一行元素和矩阵B第一列对应元素分别相乘，再相加，结果为矩阵C的第一行、第一列元素c1,1。

矩阵A的第一行元素和矩阵B第二列对应元素分别相乘，再相加，得到c1,2。

图2.8　矩阵乘法规则，两个2×2矩阵相乘为例

同理，依次获得矩阵C的c2,1和c2,2两个元素。

总结来说，A和B乘积C的第i行第j列的元素ci,j等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列对应元素乘积再求和。

注意：这个矩阵运算规则既是一种发明创造，也是一种约定成俗。也就是说，这种乘法规则在被法国数学家雅克·菲利普·玛丽·比内（Jacques Philippe Marie Binet, 1786—1856）提出之后，在长期的数学实践中被广为接受。矩阵乘法可谓“成人版九九乘法表”。就像大家儿时背诵九九乘法表时一样，这里建议大家先把矩阵乘法规则背下来，熟能生巧，慢慢地大家就会通过不断学习认识到这个乘法规则的精妙之处。

Bk3_Ch2_09.py展示如何完成矩阵乘法运算。

矩阵乘法形态

图2.9所示给出了常见的多种矩阵乘法形态，每一种形态对应一类线性代数问题。图2.9中特别高亮显示出矩阵乘法中左侧矩阵的“列”和右侧矩阵的“行”。高亮的“维度”在矩阵乘法中被“消去”。鸢尾花书《矩阵力量》一册将会详细介绍图2.9每一种乘法形态。

这里特别提醒大家，初学者对矩阵乘法会产生一种错误印象，认为这些千奇百怪的矩阵乘法形态就是“奇技淫巧”。这是极其错误的想法！在不断学习中，大家会逐渐领略到每种矩阵乘法形态的力量所在。

图2.9　矩阵乘法形态多样性

两个向量相乘

本节最后着重讲一下图2.9最上面两种向量的乘积。这两种特殊形态的矩阵乘法正是理解矩阵乘法规则的两个重要视角。

向量a和b为等长列向量，a转置（aT）乘b为标量，等价于a和b的标量积，即

举个例子：

列向量a乘b转置（bT），乘积结果abT为方阵，也就是行数和列数相同的矩阵，即

如果a和b分别为不等长列向量，请大家自行计算abT的结果：

再次强调：使用numpy.array（）构造向量时，np.array（[1,2]）构造的是一维数组，不能算是矩阵。而np.array（[[1,2]]）构造得到的相当于1×2行向量，是一个特殊矩阵。注意，《编程不难》专门区分数组、向量、矩阵等概念。

np.array（[[1],[2]]）构造的是一个2×1列向量，也是个矩阵。鸢尾花书会在《矩阵力量》一册介绍更多构造行向量和列向量的方法。

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