2.2　向量乘法：标量乘法、向量内积、逐项积

这一节介绍三种重要的向量乘法：①标量乘法（scalar multiplication）；②向量内积（inner product）；③逐项积（piecewise product）。

标量乘法

标量乘法运算中，标量乘向量的结果还是向量，相当于缩放。

标量乘法运算规则很简单，向量a乘以k，a的每一个元素均与k相乘，如下例标量2乘行向量[1, 2, 3]

再如，标量乘列向量如

图2.4所示为标量乘法示意图。

图2.4　标量乘法

同理，标量k乘矩阵A的结果是k与矩阵A每一个元素相乘，比如

Bk3_Ch2_06.py完成向量和矩阵标量乘法。

向量内积

向量内积（inner product）的结果为标量。向量内积又叫标量积（scalar product）或点积（dot product）。

向量内积的运算规则是：两个形状相同的向量，对应位置元素一一相乘后再求和。比如，下例计算两个行向量内积

计算两个列向量内积，比如：

图2.5所示为向量内积规则的示意图。

图2.5　向量内积示意图

显然，向量内积满足交换律（commutative），即

向量内积对向量加法满足分配律（distributive over vector addition），即

显然，向量内积不满足结合律（associative），即

Bk3_Ch2_07.py代码用numpy.inner（）计算行向量的内积；但是，numpy.inner（）函数输入为两个列向量时得到的结果为张量积（tensor product）。

机器学习和深度学习中，张量积是非常重要的向量运算，鸢尾花书将在《矩阵力量》一册中进行详细介绍。

下面举几个例子，让大家管窥标量积的用途。

给定以下五个数字，即

这五个数字求和，可以用标量积计算得到，即

前文提过，[1, 1, 1, 1, 1]T叫作全1向量。

这五个数字的平均值，也可以通过标量积得到，即

计算五个数字的平方和，有

此外，标量积还有重要的几何意义。本书后续将介绍这方面内容。

逐项积

逐项积（piecewise product），也叫阿达玛乘积（hadamard product）。两个相同形状向量的逐项积为对应位置元素分别相乘，结果为相同形状的向量。

逐项积的运算符为⊙。逐项积相当于算术乘法的批量运算。

举个例子，两个行向量逐项积如

图2.6所示为向量逐项积运算示意图。

图2.6　向量逐项积

同理，两个矩阵逐项积的运算前提是——矩阵形状相同。矩阵逐项积运算规则为对应元素相乘，结果形状不变，如

Python中，对于numpy.array（）定义的形状相同的向量或矩阵，逐项积可以通过*计算得到。请大家参考Bk3_Ch2_08.py。更多有关NumPy用法，请参考《编程不难》。

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