第4章
4：“四”面八方

1915年12月7日，在圣彼得堡举行的未来主义画派绘画展上，卡西米尔·塞文洛维奇·马列维奇（Kazimir Severinovich Malevich，1878—1935年）的《黑色广场》凭借其极端的激进主义画风格外显眼。这幅作品本应体现出一些现代性特征，但人们只看到一个以白色为背景的黑色正方形，别无其他。这个正方形没有展现什么，没有隐藏什么，也没有刻意表达什么。

艺术作品通常被用来展现世界，但这幅作品恰恰相反。画中没有世界上的任何东西：没有人，没有自然风景，也没有宗教符号。而画中的一切又都是由人创作的。这正是该作品的象征意义。

正方形是最简单的几何图形之一。一切都井然有序：上—下，左—右。它是数字4的体现：四条相等的边，四个相等的角，四条对称轴。正方形是我们人类最容易想象的图形，它可以帮助人们确定位置。

4是我们表达方向的数字。通过天空的四个方向，我们得到了一个空间的定位。“Orientierung”（方位）一词源于拉丁语“oriens”（东方）。东方是空间的决定性方向：如果你看向东方，那么西方就在你的后边，南方在你的右边，北方在你的左边。

此外，人类在时间上的划分也是由数字4构成的。例如，我们把一年分为四个季节，更短的单位“月”分成四个星期，月相也表现出满月、下弦、新月和上弦四个最容易被识别的特征，现代奥林匹克运动会也是每四年举办一次。

此外，在古希腊哲学中，世界上物质的产生被解释为四种力量，即四大元素火、水、气和土相互作用的结果。

正方形不仅自身很完美，而且能与其他正方形完美融合，使其变大。4个小正方形可以拼成一个大正方形，9个小正方形可以拼成一个更大的正方形，64个小正方形可以拼成一个正方形棋盘。

如此奇妙的拼接特性正是正方形普遍适用的原因：许多浴室的瓷砖是正方形的，铺路石的表面是正方形的，网格本纸张上的图案也是由许多小正方形组成的。此外，我们还用平面方格网绘制地图。

使用正方形能够获得平面中更大的面积，人们可以利用这一方法来探索平面的无限性并掌控它。

该原理最重要的应用是直角坐标系。整个坐标平面被分成无数个小正方形。每个点都可以通过x轴和y轴上对应的数字来标识。通过这种方式，人们就可以利用数字定位对象并对其进行运算了。

1852年10月23日，伦敦的一位数学系学生弗朗西斯·格思里向他的导师奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan，1806—1871年）教授请教了一个看似简单的问题。但他们都没有想到的是，对于这个问题的答案，数学界竟探讨了一个多世纪。

问题的缘由是这样的：当时，格思里正忙着给英国各郡的地图着色，他需要给每个区域涂上一种颜色，并确保共享一条边界的两个区域使用的颜色不同，这样就便于从视觉上区分出不同的区域。

弗朗西斯·格思里试图用尽可能少的颜色来完成着色工作。他发现三种颜色是不够的，但四种颜色就可以了。而他的“世纪之问”是：情况是否总是如此？人们能否用（只用）四种颜色给任何地图上的国家着色，甚至是一张假想的地图？对此，摩根教授并不清楚，于是，他当天给格思里在都柏林的同事威廉·罗文·哈密顿（William Rowan Hamilton，1805—1865年）写信请教，哈密顿也不知道。

直到1879年，数学家兼执业律师阿尔弗雷德·布雷·肯普（Alfred Bray Kempe，1849—1922年）发表了一篇文章来证明此事，这个问题才算有了答案。肯普是一位非常受人尊敬的科学家——然而，他的证明却是错误的，珀西·赫伍德（Percy Heawood，1861—1955年）在1890年指出了这一点。赫伍德借助肯普的论点证明出用五种颜色就足够了。然而，他并没有找到真正需要五种颜色着色的地图！所以，到底是用四种颜色还是五种？

直到1977年，来自美国伊利诺伊大学的数学家肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel，1932—2013年）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken，1928年— ），在德国数学家海因里希·黑施（Heinrich Heesch，1906—1995年）前期工作的基础上，结合肯普的观点，终于得出了这一问题的答案：用四种颜色就足够了！基于理论性的思考，他们将问题减少到对大约1 500种配置的调查，之后利用计算机对这些问题进行了处理。

伊利诺伊大学在其公文上自豪地宣称：“用四种颜色就足够了。”

这个数学难题除了是著名的世界三大数学猜想之一外，它还有一个独特之处，即这是首个不能在家中的写字台上完成，而需要借助于计算机的辅助才能完成的问题。这一点至今仍是数学家们热议的话题。