1.4.1　计算法与计算辅助工具

直式加减法（或称竖式加减法）是我们在小学时就学习的计算法，这套计算法已经被我们熟练掌握，而纸、笔、橡皮擦、阿拉伯数字等就是计算辅助工具。借助这些计算辅助工具，我们可以运用直式加减法完成任意十进制数的加减运算。

筹算是一种将“筹”作为计算辅助工具来进行计算的计算法，是我国古代常用的一种计算法，由此衍生出来的词汇有很多沿用至今。例如，“运筹帷幄”这个词的字面意思就是在帷幄之中进行筹算，计算各种军事问题。《三国演义》中形容诸葛亮的常用句子就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，这就是在描述他的计算非常准确。

如图1-9所示，筹算以竹签的排列来表示数字，这些竹签即被称为筹。在筹算中，还有“一纵十横，百立千疆”的说法，就是说个位用纵竹签表示，十位用横竹签表示，百位用纵竹签表示，千位用横竹签表示，这种交错排列可以更好地区分数位。

此处给出一个简单范例，1024可被表示成如图1-10所示的形式，两个连续的横竹签可提示中间还有一个百位。

利用筹算可以做很多事情，我在网络上找到了一个使用筹算求解方程组的范例（据说这是描述刘徽筹算法的范例）。如图1-11所示，网格中每个方格内的筹代表一个数字，深色的是正数，浅色（黑边）的是负数。而纵向观察网格的话，每列中的筹组成一个方程。按此规则，从右向左排列的方程为3x+21y-3z=0，-6x-2y-z=62，2x-3y+8z=32。在摆好筹之后，只要按照计算法操纵网格中的筹，即可解出方程中的变量。

除了直式计算法和筹算，珠算也是在我国常用的一种计算法。珠算使用算盘作为计算辅助工具，以算盘珠代表数字，以不同的杆代表不同的数位，使用“一上一，二上二”之类的珠算口诀来进行数学运算。

综上所述，我们可以总结出这样的共性：计算辅助工具只能存储数据（Data），却无法实现自动计算的步骤（Program），需要由人来执行对筹或者算盘珠的控制以实现计算。换言之，计算法是独立于计算辅助工具而存在的，因此筹或算盘不能被视为现代意义上的计算机。