第5章　频率法

1．已知最小相位系统的开环对数幅频特性的折线图如图5-1所示。

（1）确定系统的开环传递函数。

（2）根据开环对数幅频特性的折线图确定幅值穿越频率和系统的相角稳定裕度γ。[西安交通大学研]

图5-1

解：由图5-1可得：ω₁＝0.1，T₁＝10；ω₂＝1，T₂＝1；ω₃＝100，T₃＝0.01。

系统开环传递函数为

又由图得：

因此

2．控制系统结构如图5-2所示，其中，、为大于0的已知参数，且。试画出系统的大致开环幅相特性曲线，并推导使系统具有最大相焦裕量的ω值及值。[华中科技大学研]

图5-2

解：系统的开环传递函数为

令得：，考虑是系统为Ⅱ型，且，画出系统的大致开环幅相特性曲线如图5-3所示。

图5-3

系统的开环频率特性为

相频特性为

相角裕量为

由

解得，代入到，即

解得

3．反馈控制系统的开环传递函数为

（1）画出系统开环幅相曲线的大致形状，并分别标出系统的稳定和不稳定时（－1，j0）点的位置；

（2）由频率特性计算出闭环系统稳定时T的临界值。[华中科技大学研]

解：（1）系统开环传递函数为

由于有积分环节，需要加辅助线，系统开环幅相曲线的大致形状如图5-4所示。

图5-4

（2）系统的开环频域特性为

令虚部为零，有，解得；代入实部得Re＝－T。

①当T＝1时系统处于临界稳定。

②由开环传递函数可知系统有一个s平面右半面的开环极点，即P＝1，由Nyquis判据可知，当T＞1时，极坐标图如图5-4（a）所示，，利用Nyquist判据：2N＝Z－P，Z＝0时系统稳定；

③当T＜1时，极坐标图如5-4（b）所示，，利用Nyquis判据2N＝Z－P，Z＝2时系统不稳定。

4．某系统的对数频率特性实验数据如表５-１所示，试确定系统的传递函数。[上海交通大学2004研]

表５-１

解：由ω＝0.1~0.2，二倍频程△L（ω）＝－6dB，ω＝0.1~1，△L（ω）≈－20dB，

所以低频段有一个积分环节。

ω＝10~20，二倍频程△L（ω）＝－12dB，ω＝2~20，△L（ω）＝－36dB≈－40dB所以有一个惯性环节。

又当ω＝30时，∠G（jω）＝－345°＜180°，必须有延迟环节。

所以开环传递函数为

频率特性为

对数渐近频率特性为

由当ω＝0.1时，解得K＝5。

当ω＝30时，由解得T＝0.28

故

所以

当ω＝30时，∠G（jω）＝－345°得τ＝0.1，故

5．已知单位负反馈系统的开环传递函数G（s）无右半平面的零点和极点，且G（s）的对数渐近幅频特性曲线如图所示。试写出G（s）的表达式，并近似作出相频特性曲线，用对数频率稳定判据判断闭环系统的稳定性。[北京航空航天大学1999研]

图5-5

解：根据对数幅频渐近特性各段的斜率和转折频率，可得开环传递函数为

因为低频段是－20dB/dec，所以有一积分环节，即v＝1。又由图知，其所在的对数幅频渐近特性线段方程为

由，解得K＝100。

所以，开环传递函数为

绘制对数相频特性曲线： ，起点φ（0）＝－90°；终点

φ（∞）＝－180°；转折频率处φ（5）＝－110.9°，φ（10）＝－113.2°，φ（120）＝－137.4°；截止频率处φ（50）＝－118.2°。且由于有积分环节，在相频曲线φ（ω）的低频段处，向上补90°虚线。

相频曲线图如图所示：

图5-6

由相频曲线φ（ω）形式可知，无穿越点，所以N＝0。又由开环传递函数表达式知P＝0。所以Z＝P－2N＝0。系统稳定。

6．已知单位反馈系统Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均为最小相位系统，其开环对数幅频特性的渐近线分别在图5-7中给出，试完成：

（1）求出各系统分别对单位阶跃输入和单位斜坡输入时的稳态误差；

（2）分析比较系统Ⅱ和系统Ⅲ对于阶跃输入的超调量。[华中科技大学研]

图5-7

解：（1）由图5-7可知：系统Ⅰ、系统Ⅱ的比例系数均为K＝10，系统Ⅲ的比例系数为K＝3.16。阶跃输入时，由于系统Ⅱ系统Ⅲ均为Ⅰ型系统，故稳态误差为0，系统Ⅰ为0型系统，K_P＝10，故稳态误差；单位斜坡输入时，系统Ⅰ的稳态误差为无穷大，系统Ⅱ的稳态速度误差系数为，系统Ⅲ的稳态速度误差系数为

（2）对于系统Ⅱ和Ⅲ，设第一个转折频率为ω₁，其开环传递函数分别为

闭环传递函数分别为

比较得。因此，系统Ⅲ的超调量大于系统Ⅱ的。

7．系统如图所示，K＞0，输入r（t）＝Acos3t时，从示波器中观测到输入，输出的幅值相等，相位差90°。

（1）确定参数a，K；

（2）若输入r（t）＝3cosωt．确定ω为何值时，稳态输出c（t）的幅值最大，并求出此最大幅值。[南京航空航天大学2000研]

图5-8

解：系统闭环传递函数

频率特性

由已知条件得幅频特性

相频

上两式解得K＝9，a＝3，所以，

谐振频率，谐振峰值

所以输出最大幅值

8．如图所示，最小相位系统开环对数幅频渐近特性为，串联校正装置对数幅频特性渐近曲线为。

（1）求未校正系统开环传递函数G₀（s）及串联校正装置Gc（s）；

（2）在图中画出校正后系统的开环对数幅频渐近特性，并求出校正后系统的相位裕度γ"；

（3）简要说明这种校正装置的特点。[南京航空航天大学1998研]

图5-9

解：（1）根据对数幅频渐近特性各段的斜率和转折频率，可得开环传递函数为

因为低频段是－20dB/dec，所以有一积分环节，即v＝1，由图知ω＝0.01时，其幅值为80dB，即

，解得K＝100，故未校正系统的开环传递函数为

校正装置的开环传递函数形式为

因为低频段是0dB/dec，所以v＝0，由于低频段0dB，即20lgK_c＝0,，得K_c＝1，所以校正装置的开环传递函数为

（2）校正后系统的开环传递函数为

转折频率依次为0.02，0.4，10，100。

低频段当ω＝100时，过0分贝线，即延长线过（100，0）点。

由低频到高频绘制渐近特性曲线，遇转折频率处，改变渐近线的斜率。得到对数幅频特性曲线如图所示：

图5-10

由图可知，对数幅频曲线在ω＝10之前过0分贝线，所以由截止频率所在的对数幅频渐近特性线段方程，得，解得。

相角裕度：

（3）根据幅频曲线可知，采用的是串联滞后校正装置。以截止频率减小，快速性降低为代价，使得系统相角裕度增加。

9．已知单位反馈系统的开环传递函数为，试用奈氏判据分析闭环系统的稳定性。[华中科技大学研]

解：

当ω＝0时，A（ω）＝∞，φ（ω）＝－90°，当ω→∞时，A（∞）≈0，φ（ω）＝－270°。与实轴交点：

即1－10000ω²＝0，则ω＝0.01。代入Re（ω）得

考虑系统有积分环节，加辅助线。作出Nyquist图，如图5-11所示。

图5-11

由图可知：当，奈氏曲线包围（－1，j0）点，闭环系统不稳定；若时，闭环系统稳定；当时，闭环系统临界稳定。