第六届全国大学生数学竞赛预赛（2014年非数学类）

试题

一、填空题（本题共5个小题，每题6分，共30分）

（1）已知y1=ex和y2=xex是二阶齐次常系数线性微分方程的解，则该方程是________.

（2）设有曲面S：z=x2+2y2和平面L：2x+2y+z=0，则与L平行的S的切平面方程是________.

（3）设函数y=y（x）由方程所确定，求.

（4）设，则.

（5）已知，则.

二、（12分）设n为正整数，计算.

三、（14分）设函数f（x）在［0，1］上有二阶导数，且有正常数A，B使得｜f（x）｜≤A，｜f″（x）｜≤B．证明：对任意x∈［0，1］，有.

四、（14分）（1）设一球缺高为h，所在球的半径为R．证明：该球缺的体积为，球冠的面积为2πRh.

（2）设球体（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≤12被平面P：x+y+z=6所截的小球缺为Ω．记球缺上的球冠为Σ，方向指向球外，求第二型曲面积分.

五、（15分）设f在［a，b］上非负连续，严格单增，且存在xn∈［a，b］使得.求.

六、（15分）设，求.

参考答案

一、解　（1）由解的表达式可知微分方程对应的特征方程有二重根，r=1，故所求微分方程为y″-2y′+y=0.

（2）设P0（x0，y0，z0）是S上一点，则S在点P0的切平面方程为

-2x0（x-x0）-4y0（y-y0）+（z-z0）=0.

由于该切平面与平面L平行，所以相应的法向量成比例，即存在常数k≠0，使得

（-2x0，-4y0，1）=k（2，2，1）.

解得x0=-1，，，所以所求切平面方程为

（3）显然y（0）=1，等式两端对x求导，得

将x=0代入可得y′=3.

（4）.所以

（5）由可得

故有，其中α→0（x→0），即有

从而

二、解

令lnx=u，则有

三、证明　由泰勒公式，有

上面两式相减，得

由｜f（x）｜≤A，｜f″（x）｜≤B，得

又x2+（1-x）2在［0，1］上的最大值为1，所以有

四、（1）证明　设球缺所在球表面的方程为x2+y2+z2=R2，球缺的中心线为z轴，且设球缺所在的圆锥顶角为2α.

记球缺的区域为Ω，则其体积为

由于球面的面积元素为dS=R2sinθdθ，所以球冠的面积为

（2）解　记球缺的底面圆为P1，方向指向球缺外，且记

由高斯公式得．其中V（Ω）为Ω的体积．

由于平面P的正向单位法向量为（1，1，1），故

其中σ（P1）为P1的面积，故

由于球缺底面圆心为Q（2，2，2），而球缺的顶点为D（3，3，3），故球缺的高度为，再由（1）所证并代入，，得

五、解　考虑特殊情形：a=0，b=1．下面证明.

首先，xn∈［0，1］．即xn≤1，只要证明∀ε＞0（＜1），∃N，当n＞N时xn＞1-ε．由f在［0，1］上严格单增，就是要证明

由于∀c∈（0，1），有

现取，则f（1-ε）＜f（c），即，于是有

所以∃N，∀n＞N时有

即

从而1-ε＜xn，由ε的任意性得.

再考虑一般情形，令F（t）=f（a+t（b-a）），由f在［a，b］上非负连续，严格单增，知F在［0，1］上非负连续，严格单增．从而∃tn∈［0，1］，使得，且，即

记xn=a+tn（b-a），则有

六、解　令，因为，所以有

记，则.令

由拉格朗日中值定理，∃ξi∈（xi-1，xi）使得

记mi，Mi分别是f′（x）在［xi-1，xi］上的最小值和最大值，则mi≤f′（ξi）≤Mi，故积分

之间，所以∃ηi∈（xi-1，xi）使得

于是，有.从而