7.4　多元复合函数的求导法则

7.4.1　多元复合函数求导的链式法则

在上册中我们已经学习了一元复合函数求导的链式法则，具体如下：

设x=φ（t）在点t处可导，y=f（x）在相应的点x处可导，则复合函数y=f（φ（t））在点t处可导，且有　　.

我们将链式法则推广到多元复合函数的情形.

多元复合函数的求导法则在不同的函数复合情形下，求导法则不同，下面分成三种情形进行讨论.

1.复合函数的中间变量为一元函数的情形

如果u=u（x）及v=v（x）都在点x处可导，且函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f（u（x），v（x））在对应点x处可导，且有下列公式

称上式为函数z的全导数.

证明　设自变量x取得增量Δx，相应地u，v，z分别取得增量Δu，Δv，Δz，由于z=f（u，v）可微，所以z的全增量可表示为

其中　　

将上式两边同除以Δx，得

由于　　 ，

当Δx→0时，取（7.5）式的极限，得

证毕.

我们可结合树形图（见图7-9）加强记忆.

【例1】　设z=u2v2+et，而u=sint，v=cost，求全导数.

树形结构如图7-10所示.

2.复合函数的中间变量为多元函数的情形

如果u=u（x，y）及v=v（x，y）都在点（x，y）处具有对x和y的偏导数，且函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f（u（x，y），v（x，y））在对应点（x，y）处的两个偏导数存在，且有下列公式：

证明从略.

事实上，这里求时，将y看作常数，因此中间变量u，v可看作关于x的一元函数，因此可利用公式（7.4）.但由于复合函数

z=f（u（x，y），v（x，y））

中u，v是二元函数，将（7.4）式中的符号d改为∂，则由公式（7.4）可得公式（7.6），同理可得公式（7.7）.

树形结构如图7-11所示.

【例2】　设z=eusinv，而u=xy，v=x2+y2，求和.

树形结构如图7-11所示.

【例3】　求　z=（3x2+y2）4x+2y的偏导数.

解　设u=3x2+y2，v=4x+2y，则z=uv.

树形结构如图7-11所示.

3.复合函数的中间变量既有一元也有多元函数的情形

如果u=u（x，y）在点（x，y）具有对x和y的偏导数，v=v（x）在点x处可导，且函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=f（u（x，y），v（x））在对应点（x，y）的两个偏导数存在，且有下列公式：

证明从略.

树形结构如图7-12所示.

我们常常会遇到某个变量既为中间变量，又为另一中间变量的自变量的情形.

设z=f（u，x，y）具有连续偏导数，而u=u（x，y）具有偏导数，则z=f（u（x，y），x，y）具有对x和y的偏导数：

树形结构如图7-13所示.

注意　等式两边的与的意义不同；是指复合函数z=f（u（x，y），x，y）中把y看作常数对自变量x的偏导数；是指函数z=f（u，x，y）中把u，y看作常数，对自变量x的偏导数.

与也有类似的区别.

【例4】　设，z=x2siny，求.

树形结构如图7-14所示.

式（7.4）、式（7.6）、式（7.7）、式（7.8）称为求偏导数的链式法则.上述链式法则可推广到两个以上的中间变量以及多层复合的情形.

（1）多个变量.

设　　z=f（u，v，w），　u=u（x，y），　v=v（x，y），　w=w（x，y），

则　　 ，

树形结构如图7-15所示.

（2）多层复合.

设　　z=f（u，v），　u=u（r，s），　v=v（r，s），

r=r（x，y），　s=s（x，y），

则　　 ，

树形结构如图7-16所示.

下面是抽象的多元复合函数求偏导数的例题.

外函数为抽象函数的复合函数，称为抽象的多元复合函数，如函数z=f（x-y，xy2），利用链式法则求偏导数.

令　　u=x-y，　v=xy2，

则　　 .

为方便起见，记

这里，下标1表示z对第一个中间变量u求偏导，下标2表示z对第二个中间变量v求偏导，同理有 等.

注意到仍是多元复合函数，即

【例5】　设w=f（x+y+z，xyz），f具有二阶连续偏导数，求和.

解　利用上述偏导数的简便记法，

于是　　 ，

这里　　 ，

所以　　 ，

最后一步中，是因为f具有二阶连续偏导数，树形结构如图7-17所示.

7.4.2　全微分形式不变性

与一元函数一阶微分形式不变性类似，多元函数也有全微分形式不变性.

现在来求复合函数z=f（u（x，y），v（x，y））的全微分.

当z=f（u，v），u=u（x，y），v=v（x，y）都具有连续偏导数时，z=f（u（x，y），v（x，y））可微分，且

这说明无论z是自变量u，v的函数还是中间变量u，v的函数，它的全微分形式都可用同一个式子

表示，此性质称为一阶全微分形式不变性.类似地，三元及三元以上的多元函数的全微分也具有这一性质.

与一元函数类似，我们可以利用全微分形式不变性求函数的偏导数及全微分.

【例6】　已知e-xy-2z+ez=0，求和.

解　方程两边取全微分得

d（e-xy-2z+ez）=0，

即　　e-xyd（-xy）-2dz+ezdz=0，

-e-xy（ydx+xdy）-2dz+ezdz=0.

习题7-4

1.设z=u2v-uv2，而u=xcosy，v=xsiny，求.

2.设z=arctan（xy），而y=ex，求.

3.设z=ex-2y，而y=sinx，求.

4.求下列函数的一阶偏导数，其中f具有一阶连续偏导数：

（1）设z=f（x2-y2，exy），求；

（2）设u=f（x+xy+xyz），求；

（3）设，求.

5.设u=f（x2，xy，xyz），其中f具有一阶连续偏导数，求全微分du.

6.设函数z=xy+xF（u），其中，F为可微函数，求.

7.求下列函数的二阶偏导数，其中f具有二阶连续（偏）导数：

8.设，f，φ都具有二阶连续的导数，求.

9.设z=f（x，y）具有一阶连续的导数，，证明：

10.设，求.