3.5 置信水平、置信区间宽度和样本数

在区间估计中，置信水平表示估计的可靠性，置信区间宽度表示估计的精度。对于任何一种区间估计，置信水平、置信区间宽度和样本数都是相互关联的。在样本数不变的情况下，置信水平设定得越高，置信区间宽度越大。置信水平确定以后，样本数越大，置信区间宽度越小。在前面几节的讨论中，样本数都是事先确定的，因而置信区间宽度随着样本数的变化而变化。在某些情况下，事先需要确定区间估计的精度，然后要求抽取足够数量的样本来满足这个精度。这时，需要根据预先确定的区间值来计算相应的样本数。

1．抽样服从正态分布的样本数计算

例3.13 在不同年龄组平均每周上网时间的调查数据中，在95%的置信水平下，要求获得置信区间（单边）的绝对精度不低于0.1小时，即区间值≤0.1，最少需要多少样本数？

解：样本均值的区间值为{L-End} ，设要求的区间估计（单边）的绝对精度为δ，即{L-End} 或者{L-End} 。需要的最小样本数为：

式中，int为向下取整。

所需样本数的Excel表计算如图3.15所示：

在例3.7样本为2000件商品的抽样中，A商品为95件，样本中A商品的份额为p=95/2000=4.75%。由此得到在99%的置信水平下市场份额的置信区间为（3.52%,5.98%），区间值为1.23%。

例3.14 如果要求市场份额的精度高于1%，即置信区间不能大于（3.75%,5.75%），在同样的置信水平下，至少需要多少样本？

解：比例置信区间的区间值≤δ=0.01，即：

从中可以解出：

最少的样本数为：

即至少需要3003个样本。

2．抽样服从t分布的样本数计算

在样本均值区间估计{L-End} 和样本比例区间估计{L-End} 中，zα/2是一个与n无关的常数，最小样本数nmin可以直接从不等式中解出。当抽样服从t分布时，在样本区间估计{L-End} 中，{L-End} 和{L-End} 都与样本数n有关。这样，样本数n多大才能满足区间估计不等式，需要用Excel表对不同的样本数n分别计算{L-End} 的值，看n等于多少，这个值才会小于给定的误差界δ。